TEORIA SPETTRALE, OPERATORI DIFFERENZIALI ED APPLICAZIONI

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La teoria spettrale degli operatori costituisce il trait-d'union delle tre linee di ricerca, di seguito specificate, nel quale si articola questo progetto. Essa svolge un ruolo fondamentale in alcuni settori dell'Analisi funzionale contemporanea e trova applicazioni nello studio di modelli fisici sia classici sia quantistici. LINEA !: Gli spazi di operatori differenziali agenti in spazi di distribuzioni costituiscono uno degli esempi più rilevanti di quasi *-algebra localmente convessa. Questa struttura è stata per anni l'oggetto principale delle ricerche del gruppo sia dal punto di vista strettamente strutturale sia dal punto di vista delle loro rappresentazioni mediante operatori. E' ben nota la rilevanza che per gli operatori differenziali "tradizionali"quelli cioè agenti su spazi di funzioni differenziabili (in senso classico o in senso debole) riveste la teoria spettrale soprattutto in ordine alla ricerca di soluzioni di equazioni differenziali. Negli scorsi anni si sono ottenuti vari risultati sulla teoria spettrale di operatori appartenenti ad algebre parziali di operatori non limitati in spazi di Hilbert. Non sono tuttavia pochi gli esempi di operatori d'interesse nelle applicazioni fisiche i cui coefficienti non sono funzioni ma distribuzioni (si pensi, ad esempio, all'operatore di Schroedinger con interazioni di tipo delta di Dirac). Questi operatori possono essere visti come particolari esempi di operatori agenti in uno spazio di Hilbert rigged (tripletta di Gelfand). Recentemente è stata studiata la struttura di quest'algebra di operatori e si è provata una serie di proprietà derivanti dalla sua natura di limite induttivo di C*-algebre di operatori limitati. L'analisi spettrale di questi operatori potrebbe essere dunque condotta attraverso l'analisi spettrale della famiglia di operatori limitati di cui ciascuno di questi operatori è il rappresentante. Una buona definizione di spettro di tali operatori non è ancora disponibile e si intende pervenire ad essa attrverso l'analisi preliminare di alcuni esempi importanti (operatori di Schrödinger con potenziali singolari. Dal punto di vista astratto lo spettro di un elemento di una quasi *-algebra localmente convessa può essere definito per mezzo dei cosiddetti elementi limitati della quasi *-algebra che sono stati caratterizzati in vari modi in tempi recenti dal nostro gruppo di ricerca. Questa teoria astratta sarà tanto più interessante quanto più essa risulterà in grado di fornire informazioni di rilievo nell'analisi di operatori differenziali concreti. LINEA 2: Questa seconda linea di ricerca è relativa allo studio di una proprietà spettrale introdotta da Dunford. Tale proprietà, detta Single Valued Extension Property (abbreviata SVEP), ha un ruolo fondamentale in teoria locale spettrale, in particolare nel problema della decomposizione spettrale per operatori in spazi di Banach, si veda le monografie di Laursen e Neumann , di Aiena, Dales, Eschmeier, Laursen and Willis, e una recente monografia di Aiena . L'interazione tra la teoria locale spettrale e la teoria di Fredholm è profonda e significativa. Una versione localizzata della SVEP si è rivelata un importante strumento per lo studio di alcune parti dello spettro, per esempio nello studio dei spettri di Browder (upper e lower) e di Weyl (spettro approssimato e spettro suriettivo di Weyl). Un classico risultato dovuto a Weyl stabilisce che gli operatori normali su spazi di Hilbert verificano il cosiddetto Teorema di Weyl, cioè i punti spettrali che non appartengono allo spettro di Weyl sono autovalori isolati dello spettro aventi molteplicità finita. Il teorema di Weyl è stato successivamente esteso ad altre classi di operatori . In questa ricerca si intende caratterizzare le classi di operatori che verificano il teorema di Weyl, ed alcune importanti varianti di esso, attraverso la SVEP in certi sottoinsiemi del piano complesso C. Si intende anche
StatoAttivo
Data di inizio/fine effettiva1/1/12 → …

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