Punti fissi, punti di migliore approssimazione, punti critici

La teoria dei punti fissi ha destato nelle ultime decadi e continua a destare un notevole interesse per il suo carattere interdisciplinare che le conferisce notevoli potenzialità in vari ambiti applicativi, dalla matematica all'economia e all'ingegneria. Sulla base di queste considerazioni di carattere generale, questa ricerca intende da un lato continuare ad estendere la teoria dei punti fissi indebolendo le condizioni sulle applicazioni considerate e sugli spazi su cui operano tali applicazioni. In particolare, si cercherà di fornire dei contributi nel caso di applicazioni cicliche. Dall’altro lato si vuole sottolineare l’utilità delle tecniche proprie della teoria dei punti fissi nell’ambito della teoria della migliore approssimazione di operatori lineari e non lineari, nella stabilità di sistemi dinamici a tempo continuo e discreto e più in generale nella soluzione di equazioni integrali e differenziali. Al contempo, vogliamo sottolineare come lo studio dell’esistenza e della molteplicità di soluzioni per problemi differenziali non lineari ha tratto benefici dall'impiego dei metodi variazionali. Recentemente, infatti, è stata provata l’esistenza di infinite soluzioni per il problema del secondo ordine con condizioni miste al contorno sotto un’ipotesi di oscillazione della non linearità. Si è inoltre studiata l’esistenza di tre soluzioni per lo stesso problema sotto un’opportuna ipotesi di massima crescita della non linearità in un opportuno intervallo. Sono state studiate anche le generalizzazioni a problemi non omogenei coinvolgenti il p-laplaciano. Seguendo tale direzione di ricerca, la nostra attività intende focalizzarsi sullo studio di ulteriori problemi al contorno, anche nel caso alle derivate parziali, allo scopo di determinare l’esistenza e la molteplicità di soluzioni. Si intende anche indagare sulle possibili equivalenze tra una diseguaglianza di minimax e l’esistenza di minimi locali. Nell'attuazione del suddetto programma di ricerca, si intende valorizzare le specifiche competenze dei singoli partecipanti al progetto, incentivando le cooperazioni e ove possibile ampliando gli interessi di ricerca e le collaborazioni scientifiche nazionali ed internazionali.