Proprietà spettrali di quasi *-algebre di operatori differenziali

Progetto: Research project

Dettagli progetto

Description

La teoria spettrale degli operatori costituisce il trait-d'uniondelle linee di ricerca, di seguito specificate, nelle quali siarticola questo progetto. Negli scorsi anni si sono ottenuti vari risultati sulla teoriaspettrale di operatori appartenenti ad algebre parziali dioperatori non limitati in spazi di Hilbert. Non sono tuttaviapochi gli esempi di operatori d'interesse nelle applicazionifisiche i cui coefficienti non sono funzioni ma distribuzioni (sipensi, ad esempio, all'operatore di Schrödinger con interazioni ditipo delta di Dirac). Questi operatori possono essere visti comeparticolari esempi di operatori agenti in uno spazio di Hilbertrigged (tripletta di Gelfand).Recentemente è stata studiata la struttura di questo spazio dioperatori e si è provata una serie di proprietà derivanti dallasua natura di limite induttivo di C*-algebre di operatorilimitati. L'analisi spettrale di questi operatori potrebbe esseredunque condotta attraverso l'analisi spettrale della famiglia dioperatori limitati di cui ciascuno di questi operatori è ilrappresentante. In una prima fase, saranno studiate le proprietà spettrali dioperatori di tipo Schrödinger H=-D^2 +V, dove D è l'operatore diderivazione sullo spazio di Schwartz S(R) e V una distribuzionetemperata, con particolare attenzione alla determinazione deglioperatori di questo tipo, il cui spettro è reale o addiritturapositivo e con l'intenzione di fare qualche passo nella direzionedi un calcolo funzionale per questi operatori.Una seconda linea di ricerca è relativa allo studio dellacosiddetta Single Valued Extension Property (abbreviata SVEP) cheha un ruolo fondamentale in teoria locale spettrale, inparticolare nel problema della decomposizione spettrale peroperatori in spazi di Banach. L'interazione tra la teoria localespettrale e la teoria di Fredholm è profonda e significativa. Unaversione localizzata della SVEP si è rivelata un importantestrumento per lo studio di alcune parti dello spettro, per esempionello studio degli spettri di Browder (upper e lower) e di Weyl(spettro approssimato e spettro suriettivo di Weyl). Un classicorisultato dovuto a Weyl stabilisce che gli operatori normali suspazi di Hilbert verificano il cosiddetto Teorema di Weyl, cioè ipunti spettrali che non appartengono allo spettro di Weyl sonoautovalori isolati dello spettro aventi molteplicità finita. Ilteorema di Weyl è stato successivamente esteso ad altre classi dioperatori. In questa ricerca si intende caratterizzare le classidi operatori che verificano il teorema di Weyl, ed alcuneimportanti varianti di esso, attraverso la SVEP in certisottoinsiemi del piano complesso C.

Layman's description

La teoria spettrale degli operatori costituisce il trait-d'uniondelle linee di ricerca, di seguito specificate, nelle quali siarticola questo progetto. Essa svolge un ruolo fondamentale inalcuni settori dell'Analisi funzionale contemporanea e trovaapplicazioni nello studio di modelli fisici, sia classici, siaquantistici.Gli spazi di operatori differenziali agenti in spazi didistribuzioni costituiscono uno degli esempi più rilevanti diquasi *-algebra localmente convessa. Questa struttura è stata peranni l'oggetto principale delle ricerche del gruppo, sia dal puntodi vista strettamente strutturale, sia dal punto di vista delleloro rappresentazioni mediante operatori.È ben nota la rilevanza che la teoria spettrale riveste per glioperatori differenziali “tradizionali” - cioè quelli agenti suspazi di funzioni differenziabili (in senso classico o in sensodebole) - soprattutto in ordine alla ricerca di soluzioni diequazioni differenziali.Negli scorsi anni si sono ottenuti vari risultati sulla teoriaspettrale di operatori appartenenti ad algebre parziali dioperatori non limitati in spazi di Hilbert. Non sono tuttaviapochi gli esempi di operatori d'interesse nelle applicazionifisiche i cui coefficienti non sono funzioni ma distribuzioni (sipensi, ad esempio, all'operatore di Schrödinger con interazioni ditipo delta di Dirac). Questi operatori possono essere visti comeparticolari esempi di operatori agenti in uno spazio di Hilbertrigged (tripletta di Gelfand).Recentemente è stata studiata la struttura di questo spazio dioperatori e si è provata una serie di proprietà derivanti dallasua natura di limite induttivo di C*-algebre di operatorilimitati. L'analisi spettrale di questi operatori potrebbe esseredunque condotta attraverso l'analisi spettrale della famiglia dioperatori limitati di cui ciascuno di questi operatori è ilrappresentante. Una buona definizione di spettro di tali operatorinon è ancora disponibile e si intende pervenire ad essa attraversol'analisi preliminare di alcuni esempi importanti (operatori diSchrödinger con potenziali singolari).Dal punto di vista astratto, lo spettro di un elemento di unaquasi *-algebra localmente convessa può essere definito per mezzodei cosiddetti elementi limitati della quasi *-algebra che sonostati caratterizzati, in vari modi, in tempi recenti dal nostrogruppo di ricerca.Questa teoria astratta sarà tanto più interessante quanto più essarisulterà in grado di fornire informazioni di rilievo nell'analisidi operatori differenziali concreti.In una prima fase, saranno studiate le proprietà spettrali dioperatori di tipo Schrödinger H=-D^2 +V, dove D è l'operatore diderivazione sullo spazio di Schwartz S(R) e V una distribuzionetemperata, con particolare attenzione alla determinazione deglioperatori di questo tipo, il cui spettro è reale o addiritturapositivo e con l'intenzione di fare qualche passo nella direzionedi un calcolo funzionale per questi operatori.Una seconda linea di ricerca è relativa allo studio dellacosiddetta Single Valued Extension Property (abbreviata SVEP) cheha un ruolo fondamentale in teoria locale spettrale, inparticolare nel problema della decomposizione spettrale peroperatori in spazi di Banach. L'interazione tra la teoria localespettrale e la teoria di Fredholm è profonda e significativa. Unaversione localizzata della SVEP si è rivelata un importantestrumento per lo studio di alcune parti dello spettro, per esempionello studio degli spettri di Browder (upper e lower) e di Weyl(spettro approssimato e spettro suriettivo di Weyl). Un classicorisultato dovuto a Weyl stabilisce che gli o

Key findings

Altro
StatoFinito
Data di inizio/fine effettiva3/11/143/10/15