Progetto Giovani, INdAM, GNFM, Formazione di pattern, insorgenza di fenomeni oscillatori e soluzioni localizzate in sistemi reazione-diffusione con diffusione non lineare

Progetto: Research project

Dettagli progetto

Description

Dalla pionieristica intuizione di Turing, i sistemi reazione-diffusione sono stati utilizzati come paradigma per descrivere il meccanismo attraverso il quale la rottura di omogeneità e l'auto-organizzazione conducono alla nascita di pattern. L’insorgere di pattern di tipo Turing è stato oggetto di approfonditi studi in sistemi in cui la cinetica non lineare è accoppiata alla diffusione lineare, ipotesi quest'ultima semplificatrice e non ammissibile per la descrizione dei fenomeni di diffusione in diversi contesti, dalla biochimica ai sistemi geologici con eterogeneità, dall'ecologia ai processi industriali.In questo progetto ci si propone di studiare e caratterizzare i pattern per alcuni modelli matematici di interesse applicativo in cui la diffusione è anomala, non lineare (descritta da coefficienti di diffusione dipendenti dalle concentrazioni delle specie stesse).Si intende approfondire i seguenti aspetti:Soluzioni esatte delle equazioni di ampiezzaL'analisi debolmente non lineare (WNL) permette di derivare le equazioni di evoluzione per l’ampiezza del pattern vicino alla marginale stabilità dello stato di equilibrio. In caso di domini spaziali 1D grandi, si deriva l'equazione di Ginzburg-Landau di terzo o quinto ordine a seconda che la biforcazione sia super- o subcritica. Nel caso di domini 2D si ricavano sistemi accoppiati di equazioni di Ginzburg-Landau. Si intende cercare e classificare le soluzioni esatte di tali equazioni, utilizzando la teoria delle simmetrie puntuali di Lie. Si useranno, inoltre, le trasformazioni di equivalenza e le simmetrie di Lie approssimate, accoppiate a metodi di tipo perturbativo, per eventualmente disaccoppiare i sistemi reazione-diffusione..Fenomeni oscillatori: interazioni tra biforcazioni di Turing e di Hopf o interazione con la biforcazione subcriticaAlcuni sistemi reazione-diffusione danno luogo, oltre a Turing pattern stazionar, anche a pattern di Turing oscillanti nel tempo (STOS: spatio-temporally oscillating solutions). Si tratta di fenomeni diversi dalle oscillazioni uniformi dovute alla presenza di una biforcazione di Hopf nel termine cinetico; sono invece dovuti o alla risonanza di modi di Turing instabili con subarmoniche Hopf-instabili oppure all'interazione di modi di Turing instabili con una biforcazione subcritica.Si vuole investigare la dinamica spazio-temporale dei pattern di Turing oscillanti e caratterizzare tali strutture emergenti utilizzando sia la WNL sia tecniche numeriche di tipo continuazione.Biforcazione subcritica e formazione di pattern localizzatiLa biforcazione subcritica, nel caso di domini spaziali grandi, conduce all’insorgere spontaneo di pattern localizzati attraverso il meccanismo dell’homoclinic snaking. Nel caso di biforcazione supercritica il pattern, in domini grandi, è soggetto a ulteriori instabilità a causa dell’interazione di più modi instabili ammessi nel dominio; nel caso di biforcazione subcritica, invece, si formano pattern di ampiezza finita, tali che, a causa della natura isteretica della biforcazione, piccole fluttuazioni nei valori del parametri non conducono alla distruzione del pattern. In pratica la subcriticità conduce ad una transizione robusta a pattern localizzati. Si vuole, dunque, investigare se la diffusione non lineare favorisce l’insorgere di instabilità subcritica e la conseguente formazione di pattern localizzati.

Layman's description

In questo progetto ci si propone di studiare e caratterizzare i pattern per alcuni modelli matematici di interesse applicativo in cui la diffusione è anomala, non lineare (descritta da coefficienti di diffusione dipendenti dalle concentrazioni delle specie stesse).Si intende approfondire i seguenti aspetti:Soluzioni esatte delle equazioni di ampiezza utilizzando la teoria delle simmetrie puntuali di Lie;Fenomeni oscillatori: interazioni tra biforcazioni di Turing e di Hopf o interazione con la biforcazione subcritica utilizzando sia la WNL sia tecniche numeriche di tipo continuazione;Biforcazione subcritica e formazione di pattern localizzati.

Key findings

Altro
StatoFinito
Data di inizio/fine effettiva4/16/154/15/16