Metodo di sommazione di tipo Riemann nella teoria dell'integrazione vettoriale di funzioni e di multifunzioni

Il progetto è la naturale evoluzione nei contenuti e nelle tematiche del progetto Prin 2007 prot. 2007HM9KZK_004, il cui responsabile scientifico Benedetto Bongiorno il 31 ottobre 2012 andrà in quiescenza per raggiunti limiti di età. Tutti gli altri componenti del progetto Prin (prot. 2007HM9KZK_004) sono componenti di questo progetto FFR, ad eccezione di Cristina Di Bari e di Calogero Vetro, che presentano un progetto FFR, avente come responsabile scientifico Calogero Vetro e la cui ricerca successivamente si è sviluppata essenzialmente su tematiche legate alla teoria dei punti fissi. Il progetto si propone di proseguire lo studio di problemi di analisi funzionale e di teoria della misura vettoriale che, sebbene appaiano in contesti diversi, sono fortemente interconnessi tra loro dal fatto che usano il metodo delle somme di Riemann quale strumento preferenziale di indagine. In tal modo si riconduce una vasta gamma di processi di integrazione (scalare, vettoriale o di multifunzioni) ad una sorta di limite di somme di tipo Riemann col vantaggio evidente dell'indipendenza dalla misura e con la possibilità di sviluppare teorie di integrazione non assolutamente convergente. Relativamente ai processi di integrazione di funzioni vettoriali, si intende estendere l'integrale di Henstock-Kurzweil (un integrale non assolutamente convergente che usa somme di tipo Riemann nella sua definizione) al caso in cui le funzioni sono definite su sottoinsiemi frattali della retta reale, e sviluppare una soddisfacente teoria. Si intende, inoltre, approfondire lo studio delle interrelazioni, anche dal punto di vista topologico, tra integrali classici per funzioni vettoriali (integrale di Bochner, Pettis, McShane, Birkhoff). L’ integrale è l'esempio più semplice di funzionale che dipende sia da una funzione che da un insieme. In letteratura l'introduzione di funzioni modulari - funzionali non solo di funzioni ma anche d'insieme - ha permesso di definire spazi di funzioni che generalizzano vari spazi d'interesse tra cui i ben noti spazi di Orlicz. Questi spazi sono definiti in modo indipendente da qualsiasi misura e permettono di considerare, oltre che all'integrazione di funzioni vettoriali, anche l'integrazione rispetto a famiglie di misure. Nell’ambito di questo progetto si intende studiare l'ammissibilità di tali spazi, anche nell'ottica di considerare applicazioni riguardanti i punti fissi. Si pensa inoltre di considerare nel caso di funzioni a valori in uno spazio di Banach una definizione di funzione modulare, dipendente dai funzionali del duale dello spazio di Banach, in modo da comprendere, come caso particolare, l’integrazione di funzioni vettoriali rispetto a misure vettoriali. In tempi recenti il metodo della somme di Riemann è stato utilizzato anche nella teoria dell'integrazione di multifunzioni e nella teoria delle multimisure. Il progetto prevede a tal riguardo lo studio di problemi nell'ambito della teoria dell’integrazione di multifunzioni a valori nella famiglia dei sottoinsiemi convessi, debolmente compatti di uno spazio di Banach, o anche, in un ambito più generale, di uno spazio di Fréchet. Tale teoria ha le sue origini nei lavori pionieristici di Debreu e di Auman (premi Nobel per l´economia nel 1983 e nel 2005, rispettivamente), ed è notoriamente utile per modellare numerose situazioni in vari campi della matematica applicata all’economia, ai controlli ottimali e all’ottimizzazione. Uno strumento importante in questa teoria è il teorema di Kuratowski-Ryll-Nardzewski sull’esistenza di selettori misurabili per multifunzioni i cui valori sono sottoinsiemi di uno spazio di Banach. Una sua limitazione è, però, l’ipotesi di separabilità richiesta allo spazio di Banach. Recentemente (Cascales B., Kadets V., Rodríguez J. , Measurability and selections of multi-functions in Banach spaces. J. Convex Anal. 17 (2010), no. 1, 229–240) è sta