LEM : un metodo alternativo per la soluzione di elementi trave sollecitati a torsione aventi una sezione qualunque

L’obbiettivo di questa ricerca è quello di verificare la validità del metodo considerando qualunque forma della sezione trasversale con particolare attenzione alle sezioni con spessore sottile ed aventi angoli rientranti. Qualora il metodo così come formulato non sia idoneo a risolvere i problemi delle sezioni concave, problema ben noto in letteratura, si intende studiare il modo con cui si possa estendere tale metodo perché si possa beneficiare di tutti i vantaggi del metodo stesso in campo dell’ingegneria strutturale, basti pensare i profili comuni come quelli a t ad l etc.

Nell’ingegneria strutturale il problema di solidi sollecitati a torsione è governato da equazioni differenziali che spesso non possono essere risolte in forma analitica tranne per casi con particolari simmetrie da un punto di vista geometrico e particolari condizioni di carico. Per una sezione generica, infatti, la ricerca della distribuzione delle tensioni tangenziali provocate dalla torsione risulta complicata per cui è frequente il ricorso a metodi numerici quali il Metodo degli elementi finiti (FEM), ed il Metodo degli elementi al contorno(BEM). Recentemente è stato sviluppato un metodo denominato LEM (Line Element-less Method) che fornisce soluzioni equilibrate e congruenti soddisfacenti le caratteristiche del campo vettoriale delle tensioni tangenziali generate dalla torsione ed espresse dal problema di Dirichlet. Per il problema di Dirichlet si ha l’ulteriore condizione di flusso nullo lungo il contorno della sezione. Utilizzando il metodo qui proposto si rinuncia al soddisfacimento di questo ultimo requisito. Il problema verrà risolto imponendo che sia minimo il funzionale espresso dal quadrato del flusso sul contorno della sezione e soggetto alla condizione di equilibrio globale sul dominio della sezione. Due sono gli aspetti innovativi del metodo: a) considerare una funzione potenziale complesso, legata direttamente al campo delle tensioni tangenziali, che risulti armonica all’interno del dominio della sezione trasversale della trave. b) tale funzione potenziale complesso può essere espressa attraverso una espansione in serie di Laurent permettendo di scrivere le componenti di tensione non nulle come serie di polinomi armonici. Sfruttando opportune proprietà di questi ultimi è possibile trasformare tutti gli integrali di dominio in integrali di linea. Quest’ultimo aspetto abbatte drasticamente gli oneri computazionali rendendo il metodo molto competitivo nei confronti di FEM e BEM anche perché è facilmente implementabile. La validità del metodo è palese perché restituisce la soluzione in forma esatta per tutte le condizioni note in letteratura.