Integrali non assolutamente convergenti e applicazione all'analisi armonica in spazi astratti e alle equazioni differenziali ordinarie. Teoria della distibuzione uniforme. Studio dei punti critici di funzionali del calcolo delle variazioni.

Progetto: Research project

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Il progetto di ricerca consta di più argomenti: -analisi armonica sui gruppi compatti di dimensione finita -integrazione astratta per funzioni a valori in spazi di Riesz -teoria della uniforme distribuzione di punti e di partizioni -equazioni differenziali lineari generalizzate -studio dei punti critici di funzionali del calcolo delle variazioni Lo studio dell'analisi armonica sui gruppi compatti di dimensione finita tratterà l'analisi p-adica, tornata recentemente di interesse per i fisici dato l'utilizzo alla fisica quantistica, e la possibilità di estendere a tale teoria, alcuni risultati dell'analisi armonica sui gruppi compatti riguardanti la ricostruzione di multiserie convergenti quasi ovunque, in sistemi di tipo Haar o Walsh, tramite le formule di Fourier senza la ipotesi a priori della integrabilità della funzione a cui converge la serie stessa. Sugli spazi di Riesz si cercherà di estendere un ben noto teorema di Hake e si studieranno integrali di tipo Henstosck agli spazi di Riesz complessi e le loro applicazioni. Nell'ambito della teoria della distribuzione uniforme si cercherà di trovare delle tecniche esplicite per introdurre delle nuove classi di successioni di punti e di partizioni su [0,1] e su insiemi più astratti. Inoltre si farà una analisi quantitativa della distribuzioni della classe di successioni ottenute tramite lo studio della loro discrepanza. Di particolare interesse sono le successioni di partizioni di Kakutani generalizzate. Infatti, l'analisi del comportamento asintotico della loro discrepanza è una tematica ancora aperta per una vasta gamma di successioni appartenenti a tale classe. Per quanto riguarda la teoria delle equazioni differenziali lineari generalizzate, tale teoria("generalized ODEs") ha origine da un lavoro del matematico Ceco Jaroslav Kurzweil basato sulla nozione dell'integrale di Perron generalizzato. Negli anni recenti l'interesse per le ODE generalizzate è cresciuto considerevolmente. Una delle ragioni di questo crecente interesse è il fatto che la teoria delle ODE generalizzate permette lo studio dei sistemi continui e discreti da una comune interpretazione. Si intende infatti approfondire la corrispondenza tra le ODE generalizzate e altri tipi di sistemi differenziali come le equazioni funzionali differenziali, le equazioni con impulsi, le equazioni dinamiche "time scales", equazioni differenziali con misura. Ciò permetterebbe di ricavare dalla teoria delle ODE generalizzate nuovi i risultati delle altre equazioni differenziali, dimostrando che la teoria delle ODE generalizzate rappresenta un importante strumento per studiare i problemi di differenti tipi di equazioni differenziali. Nello studio di punti critici per i funzionali il problema consiste nel considerare un sottoinsieme A di Rn aperto, connesso e limitato, con frontiera sufficientemente regolare, una funzione continua f da Rn a Rn, e il problema di Dirichlet "-divgrad u=f(x,u) in A" e con la funzione u che si azzera sulla frontiera di A. Tale problema, anche perchè modellizza una grande varietà di rilevanti fenomeni fisici, è probabilmente quello più studiato nell'ambito delle equazioni ellittiche non lineari. Poichè l'unicità della soluzione si ha solo per classi abbastanza particolari di non linearità, è studiatissima la questione della molteplicità delle soluzioni per il problema su scritto. Nella maggior parte dei risultati di molteplicità noti si assicura, sotto convenienti ipotesi su f, l'esistenza di almeno h soluzioni del problema, essendo h un certo intero positivo. In particolare, il teorema noto come "Ricceri's three critical points theorem", è stato applicato in oltre 250 lavori per ottenere risultati di questo tipo con h = 3. Sono estremamente rari quei risultati in cui si prova che il problema ha esattamente h soluzioni. Ci sono, poi, quei teoremi di molteplicità in cui si assicura che il problema ha infinite soluzioni. Ad oggi
StatoAttivo
Data di inizio/fine effettiva1/1/12 → …

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