Identità polinomiali e metodi combinatori

Obiettivo primario del progetto di ricerca è quello di studiare le identità polinomiali soddisfatte da un'algebra su un campo di caratteristica zero utilizzando metodi e risultati pertinenti alla teoria delle rappresentazioni dei gruppi simmetrici e lineari, alla combinatoria algebrica, alla teoria degli invarianti. Tale approccio che ha permesso di sviluppare la teoria e di raggiungere risultati di notevole rilievo è basato soprattutto sulla teoria delle varietà sviluppata da Kemer ed un ruolo fondamentale è giocato dalle superalgebre e dalle loro identità. Questo approccio alla teoria delle identità polinomiali è stato introdotto e sviluppato principalmente da Berele, Drensky, Formanek, Kemer, Procesi, Razmyslov e Regev. Si intende inoltre sviluppare ulteriormente la piena efficacia della versione superalgebrica del metodo delle "variabili virtuali" di Capelli, nella prospettiva di ottenere risultati di decomposizione per certe classi di "algebre pletistiche"; ci si propone anche di fornire contributi alla "teoria costruttiva degli invarianti" per i gruppi classici, con particolare riferimento all'estensione del metodo dei trasvettanti, alla generalizzazione del metodo simbolico all'anello delle funzioni polinomiali su moduli Schur/Weyl qualsiasi ed alla teoria delle rappresentazioni di gruppi finiti di riflessioni su algebre polinomiali. Questo programma comportera' anche studi dettagliati di specifiche strutture combinatorie e delle algebre di Hopf ad esse associate; tra di esse, menzioniamo la corrispondenza di Robinson-Knuth-Schensted, le statistiche di permutazioni (con particolare riguardo alle involuzioni) e le non crossing partitions. Nella teoria delle varietà si associano ad un’algebra degli invarianti numerici quali la successione delle codimensioni, la successione dei cocaratteri, la successione delle colunghezze e si intende contribuire allo sviluppo della teoria attraverso lo studio del loro comportamento asintotico. Nel caso delle superalgebre (ma anche delle algebre con involuzione o graduate da un gruppo finito G) si possono definire analoghi invarianti più fini, (determinati attraverso la teoria delle rappresentazioni dei prodotti intrecciati G wr Sn). Da una comparazione di questi ultimi con gli invarianti classici, si cerca di ottenere una migliore comprensione delle identità polinomiali studiate.