Identità polinomiali e metodi combinatori

Progetto: Research project

Dettagli progetto

Description

Obiettivo primario del progetto di ricerca è quello di studiare le identità polinomiali soddisfatte da un'algebra su un campo di caratteristica zero utilizzando metodi e risultati pertinenti alla teoria delle rappresentazioni dei gruppi simmetrici e lineari, alla combinatoria algebrica, alla teoria degli invarianti. Tale approccio che ha permesso di sviluppare la teoria e di raggiungere risultati di notevole rilievo è basato soprattutto sulla teoria delle varietà sviluppata da Kemer ed un ruolo fondamentale è giocato dalle superalgebre e dalle loro identità. Questo approccio alla teoria delle identità polinomiali è stato introdotto e sviluppato principalmente da Berele, Drensky, Formanek, Kemer, Procesi, Razmyslov e Regev.Si intende inoltre sviluppare ulteriormente la piena efficacia della versione superalgebrica del metodo delle "variabili virtuali" di Capelli, nella prospettiva di ottenere risultati di decomposizione per certe classi di "algebre pletistiche"; ci si propone anche di fornire contributi alla "teoria costruttiva degli invarianti" per i gruppi classici, con particolare riferimento all'estensione del metodo dei trasvettanti, alla generalizzazione del metodo simbolico all'anello delle funzioni polinomiali su moduli Schur/Weyl qualsiasi ed alla teoria delle rappresentazioni di gruppi finiti di riflessioni su algebre polinomiali.Questo programma comportera' anche studi dettagliati di specifiche strutture combinatorie e delle algebre di Hopf ad esse associate; tra di esse, menzioniamo la corrispondenza di Robinson-Knuth-Schensted, le statistiche di permutazioni (con particolare riguardo alle involuzioni) e le non crossing partitions. Nella teoria delle varietà si associano ad un’algebra degli invarianti numerici quali la successione delle codimensioni, la successione dei cocaratteri, la successione delle colunghezze e si intende contribuire allo sviluppo della teoria attraverso lo studio del loro comportamento asintotico. Nel caso delle superalgebre (ma anche delle algebre con involuzione o graduate da un gruppo finito G) si possono definire analoghi invarianti più fini, (determinati attraverso la teoria delle rappresentazioni dei prodotti intrecciati G wr Sn). Da una comparazione di questi ultimi con gli invarianti classici, si cerca di ottenere una migliore comprensione delle identità polinomiali studiate.

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Gli obiettivi finali che il progetto si propone di raggiungere nei vari ambiti specifici sono i seguenti:Calcolo dell’esponente delle varietà: estendere la classificazione delle varietà determinate da polinomi di Capelli e di Amitsur alle varietà minimali. Classificazione delle varietà a crescita polinomiale: estendere la classificazione recentemente ottenuta delle varietà a crescita lineare e delle sottovarietà della varietà generata dall’algebra di Grassmann o dall’algebra delle matrici 2 x 2 triangolari superiori.Crescita delle codimensioni di Lie e delle codimensioni proprie: determinare se i limiti delle successioni {c_n^p(A)^(1/n)} e {c_n^L(A)^(1/n)} esistono e sono interi. Algebre non associative e crescita esponenziale: studiare le algebre non associative di dimensione finita cercando di classificare la loro crescita esponenziale (è un intero?). Superalgebre e algebre con involuzione: comparare gli invarianti determinati mediante la teoria delle rappresentazioni del gruppo iperottaedrale dalle supercodimensioni o dalle *-codimensioni con quelli classici. Combinatoria delle funzioni di Schur: determinare una formula esplicita per le molteplicità m(λ) nei cocaratteri traccia nel caso dell'algebra M_2,1(K). G-gradazioni, identità funzionali: studiare le identità polinomiali graduate delle algebre verbalmente prime e determinare le possibili graduazioni mediante gruppi abeliani finiti su particolari algebre..Letterplace superalgebre: estendere parte della teoria al caso di caratteristica qualsiasi, allo scopo di ottenere versioni universali a meno di filtrazione (composition series) di risultati di decomposizione validi in caratteristica zero. Algebre di invarianti: estendere l'approccio combinatorio per la generazione di sistemi finiti minimali di generatori per l'algebra degli SL-invarianti di forme n-arie.Metodo umbrale: sviluppare una versione del metodo umbrale che unifichi diverse generalizzazioni, allo scopo di ottenere, in primo luogo, descrizioni dei moduli irriducibili di algebre super(anti)simmetriche su moduli Schur-Weyl superalgebrici.Azioni di gruppi di riflessioni: sia W un gruppo finito di riflessioni che agisce su uno spazio vettoriale di dimensione n. Considerando l'azione duale di W si possono costruire in modo naturale diverse azioni sull'anello dei polinomi in nk variabili. Ci si propone di studiare le serie di Hilbert delle algebre invarianti e covarianti associate generalizzando i risultati recentemente ottenuti nel caso dell'anello dei polinomi in 2n variabili. Distribuzioni di involuzioni: studiare la distribuzione Euleriana sulle involuzioni senza punti fissi e sulle involuzioni autoevacuate, ovvero le involuzioni che corrispondono a tabelle di Young standard fisse sotto l’azione della mappa di Schützenberger. Calcolo umbrale: applicare i metodi umbrali alle funzioni di Schur, semplificando in chiave simbolica alcune delle formule più significative quali la regola di Littlewood-Richardson. Calcolo geometrico invariante Grassmann-Clifford: Approfondendo il legame tra algebre di Cayley-Grassmann, algebre di Clifford geometriche e teoria dei covarianti di tensori antisimmetrici, sviluppare applicazioni del calcolo geometrico invariante alla soluzione di concreti problemi geometrici.
StatoAttivo
Data di inizio/fine effettiva1/1/07 → …