Giochi a campo medio: modelli, metodi numerici e applicazioni

La teoria dei Giochi a Campo Medio (MFGs), come formulata da J-M. Lasry e P-L. Lions ([Lasry, Lions 2007]), intende fornire un modello per lo studio di situazioni con un grande numero di agenti (indistinguibili) le cui strategie dipendono dalla massa degli altri agenti (si veda anche [Huang et al. 2007] e [Bardi, preprint 2011]). L’introduzione di una componente “sociale” nei criteri di ottimizzazione rende la teoria aperta a molteplici campi di applicazione nell'ambito dell’economia, della sociologia e della biologia (si veda [Gueant et al. 2010], [Lachapelle et al. 2010]). Da un punto di vista matematico, l’approccio di “campo medio” proposto da J-M. Lasry e P-L. Lions conduce allo studio di un sistema differenziale dove la classica equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman è accoppiata con l’equazione di Fokker-Planck per la densità degli agenti, in una dinamica forward-backward.

Alcuni risultati sono stati dimostrati recentemente sia riguardo la derivazione rigorosa del sistema di equilibrio a campo medio come limite di giochi differenziali a un numero grande di giocatori sia riguardo le proprietà di base (esistenza, unicità e stabilità di soluzioni) per il sistema limite, inclusi risultati sul limite ergodico in connessione col comportamento in tempi lunghi del sistema.
D’altra parte, rispetto al numero crescente di potenziali applicazioni e di relativi modelli, spesso complessi, lo sviluppo della teoria è lungi dall’essere soddisfacente e diverse questioni restano aperte.

OBIETTIVI
Come primo obiettivo, si intende generalizzare la teoria esistente ancora ristretta a un numero limitato di situazioni modello.
In tal senso, i principali aspetti di carattere teorico oggetto della ricerca sono:
- ruolo delle condizioni al contorno;
- comportamento a lungo termine: stabilità ed ergodicità;
- limite della viscosità evanescente;
- robustezza
- metodi di approssimazione numerica.


RUOLO DELLE CONDIZIONI AL CONTORNO. Si intende approfondire il ruolo delle condizioni al bordo in diversi possibili modelli, con particolare attenzione al caso in cui la dinamica degli agenti avviene in insiemi invarianti, o attraverso l’uso di controlli (vincolo di stato) o per intrinseche proprietà dinamiche.

COMPORTAMENTO A LUNGO TERMINE: STABILITA’ ED ERGODICITA’. Un aspetto interessante risiede nel comportamento asintotico a lungo termine e nelle proprietà di stabilità ed ergodicità dei sistemi. Ad oggi, il comportamento a lungo termine è stato studiato solo nel caso di condizioni periodiche al bordo ([Cardaliaguet et al. to appear] e [Gomes et al. 2010] per modelli discreti) e richiede un’analisi attenta della struttura forward-backward del sistema e un’opportuna formulazione del comportamento asintotico.


LIMITE DELLA VISCOSITA’ EVANESCENTE. Si intende approfondire una terza questione teorica basilare che riguarda il limite della viscosità evanescente e la rigorosa buona positura del sistema del prim’ordine. Lo scopo è duplice: da un lato analizzare la velocità di convergenza delle soluzioni nel passaggio al limite in cui la diffusione svanisce, dall’altro dare una derivazione rigorosa del sistema del prim’ordine come condizione necessaria di ottimalità in giochi a campo medio nel caso deterministico.

ROBUSTEZZA. Un ulteriore obiettivo della ricerca è indagare il ruolo dei disturbi nei modelli MFG. I disturbi sono descritti secondo un modello H-infinito. Un primo tentativo in tal senso è rappresentato dal lavoro congiunto con Başar (CSL, University of Illinois) [Bauso, Tembine, Başar, 2012], che sviluppa un modello MFG robusto applicato a un esempio di produzione con risorse non rinnovabili.

APPROSSIMAZIONE NUMERICA. Si vuole affrontare lo studio dell’approssimazione numerica del sistema di PDEs caratterizzante il modello MFG: problema cruciale per via della scarsa regolarità delle soluzioni. Si proporranno pertanto s