Distribuzione degli stimatori dei parametri in alcuni processi di punto spazio-temporali

Questo programma di ricerca rappresenta una continuazione di un progetto 2006 già finanziato. Infatti, dati i tempi ridotti e la limitatezza del precedente finanziamento, alla luce degli interessantissimi risultati preliminari ottenuti (sottoposti per la pubblicazione su riviste e presentati a convegni nazionali e internazionali), si ritiene utile proseguire e approfondire le tematiche affrontate nel progetto 2006. Lo scopo principale di questo programma di ricerca è quello di trovare delle approssimazioni delle distribuzioni campionarie degli stimatori di massima verosimiglianza in particolari processi di punto spazio temporali. Tali modelli rappresentano uno strumento molto interessante e molto utilizzato per la descrizione del verificarsi di eventi aleatori nel dominio spaziale e temporale; per far questo si specifica la funzione di intensità condizionata del processo, in base a particolari ipotesi sulla natura del processo generatore, che risulterà funzione di un certo numero di parametri incogniti; per stimare tali parametri si impiega il metodo della massima verosimiglianza: tuttavia le proprietà di tali stimatori spesso non sono note, se non in casi elementari di processi omogenei di Poisson; in effetti esistono dei risultati asintotici fondati sull'informazione di Fisher, ma va tenuto presente che nei processi di punto il contenuto informativo a disposizione non dipende dall'ampiezza campionaria in modo diretto, ma piuttosto dall'ampiezza della finestra spazio-temporale di osservazione. Si intendono studiare, per alcuni modelli molto usati nell'analisi di cataloghi sismici, quali il modello ETAS e il modello Poisson-clustered, le proprietà degli stimatori MLE, attraverso tecniche analitiche e attraverso tecniche di simulazione. L'implementazione di tali metodi avverrà mediante la stesura di apposite routine in R e in Fortran. Fra gli obiettivi della ricerca è anche la stima dei parametri in particolari strutture di interdipendenza spazio temporale nei modelli costruiti per la valutazione del rischio sismico, campo nel quale dei componenti di ricerca hanno già ottenuto risultati interessanti quando occorre distinguere componenti che seguono un processo di punto di Poisson spazialmente eterogeneo, da componenti che seguono invece un meccanismo di aggregazione attorno a dei punti, secondo uno schema di raggruppamento che segue regole diverse da quelle del processo principale.

L'obiettivo principale di questo programma è di trovare delle approssimazioni alle distribuzioni campionarie degli stimatori di massima verosimiglianza in particolari processi di punto spazio temporali. In tali processi, sulla base di particolari ipotesi sulla natura del processo, si specifica la funzione di intensità condizionata del processo generatore, che risulta funzione di un certo numero di parametri incogniti; per stimare tali parametri si impiega il metodo della massima verosimiglianza. Fra le statistiche di cui ci si occuperà per una classe ampia di processi impiegati in ambito sismico vi sono: -gli stimatori di massima verposimiglianza dei parametri; -i rapporti di verosimiglianza (e verosimiglianza profilo), importanti per la selezione di modelli, ad esempio per confrontare modelli con e senza interdipendenza spazio-temporale; - le stime delle funzioni di intensità spazio-temporali e le stime delle intensità spaziali o temporali (marginali): in generale le intensità condizionate lambda sono funzione di parametri incogniti; per molte applicazioni è utile avere direttamente una stima dell'errore quadratico medio della stima di lambda, sia per le intensità puntuali che per quelle marginali. Ci si occuperà anche di alcune statistiche diagnostiche impiegate per l'analisi dei residui: in effetti si vuole vedere, per processi non omogenei, per alcune di queste statistiche pesate (con pesi ricavati dalla funzione d'intensità) quanto la loro distribuzione campionaria viene influenzata dal fatto che si usino come pesi delle intensità stimate piuttosto che le vere intensità. Si intendono studiare, per alcuni modelli molto usati nell'analisi di cataloghi sismici, quali il modello ETAS e il modello Poisson-clustered, tali proprietà (degli stimatori MLE, della verosimiglianza etc.), attraverso tecniche analitiche e attraverso tecniche di simulazione. Particolare enfasi verrà data ai parametri che descrivono specifiche strutture di interdipendenza spazio temporale nei modelli costruiti per la valutazione del rischio sismico. Per lo sviluppo degli obiettivi sopradetti si continueranno a implementare routine di calcolo mediante software open source (R), ambito nel quale alcuni componenti del gruppo hanno già maturato una certa esperienza. 2.2 Metodologie Le distribuzioni campionarie esatte degli stimatori dei parametri (e delle funzioni di intensità) nei processi di punto spazio-temporali non sono note in generale, e specialmente nel caso non parametrico e semi-parametrico si hanno solo delle approssimazioni. Pertanto si farà uso di tecniche analitiche e di tecniche di simulazione da processi di punto spazio temporali per approssimare le distribuzioni campionarie degli stimatori di massima verosimiglianza in particolari processi di punto spazio temporali. Le proprietà di tali stimatori in molti casi non sono note, se non in casi elementari di processi omogenei di Poisson; si intendono studiare, per alcuni modelli molto usati nell'analisi di cataloghi sismici, quali il modello ETAS e il modello Poisson-clustered, le proprietà degli stimatori MLE e di altre quantità legate alla verosimiglianza, attraverso tecniche analitiche e attraverso tecniche di simulazione. Si studierà in particolare la stima dei parametri in particolari strutture di interdipendenza spazio temporale nei modelli costruiti per la valutazione del rischio sismico, quando occorre distinguere componenti che seguono un processo di punto di Poisson spazialmente eterogeneo, da componenti che seguono invece un meccanismo di aggregazione attorno a dei punti, secondo uno schema di raggruppamento che segue regole diverse da quelle del processo principale. Per la valutazione dell'errore quadratico medio degli stimatori per alcune tipologie di modelli si cercherà di estendere al caso dei processi di punto spazio-temporalui alcuni dei concetti utilizzati per le tecniche di cross-validation. In