Esistenza, molteplicità e stabilità delle soluzioni di problemi differenziali

Project: Research project

Project Details

Description

Il progetto ha lo scopo di coordinare e sviluppare l'applicazione dei metodi variazionali, dei metodi topologici e di “shooting” e dei metodi di punto fisso allo studio dell'esistenza, della molteplicità e della stabilità di soluzioni di problemi differenziali nonlineari. Una prima linea di ricerca è finalizzata alla determinazione dell'esistenza e della molteplicità di soluzioni di problemi differenziali non lineari, utilizzando metodi variazionali e teoremi di punto critico. Più precisamente, la base di partenza è costituita da problemi di Sturm-Liouville e problemi contenenti il p-Laplaciano con condizioni miste al bordo, per i quali si sono già ottenuti l'esistenza di tre soluzioni, due soluzioni e di infinite soluzioni, sotto opportune ipotesi sul termine non lineare. L'attività di ricerca proposta intende studiare sistemi contenenti il (p,q)-Laplaciano con condizioni di Dirichlet e miste e generalizzazioni a sistemi Hamiltoniani. Una seconda linea di ricerca del progetto proposto è incentratasullo studio dell'esistenza e della molteplicità di soluzioni radiali, con prescritte proprietà nodali, per equazioni differenziali non lineari. In particolare, avvalendosi di tecniche di tipo topologico e di shooting, si intende dedicare attenzione allo studio di esistenza di infinite soluzioni per problemi ai limiti di tipo concavo-convesso, in presenza di pesi indefiniti. Inoltre, utilizzando la teoria delle varietà invarianti e il concetto di "winding number", si intendono classificare le soluzioni radiali per equazioni di Laplace supercritiche, caratterizzandone il comportamento asintotico e nodale. Infine, adottando la teoria dell'indice di Morse, ci si propone di estendere risultati di molteplicità ottenuti per problemi di Dirichlet asintoticamente lineari ad una classe di sistemi del secondo ordine. La terza linea di ricerca, tiene conto del fatto che la teoria dei punti fissi ha ricevuto negli ultimi decenni una crescente attenzione per il suo approccio sistematico e il carattere interdisciplinare che le conferiscono notevoli potenzialità in vari ambiti applicativi, dalla matematica all'economia e all'ingegneria. In particolare, si fa riferimento alla costruzione di schemi iterativi di punto fisso per la caratterizzazione delle perturbazioni ammissibili di operatori e sistemi di operatori non lineari in spazi di Hilbert. In questo studio, a partire dalle metodologie e dai risultati classici, si intende proporre una serie di modifiche puntuali e mirate, atte a garantirne l'adattamento a specifici problemi di esistenza che coinvolgono sistemi dinamici. Si vogliono quindi discutere le proprietà di stabilità delle soluzioni ottenute, proponendo teoremi di dipendenza della soluzione dal dato iniziale e, più in generale, di convergenza. L'approccio scelto, si basa sul fatto che i problemi di esistenza e unicità della soluzione di equazioni e inclusioni integro-differenziali sono di fatto equivalenti a problemi di esistenza e unicità dei punti fissi di opportune classi di operatori (Djebali, Gorniewicz and Ouahab, Solution Sets for Differential Equations and Inclusions, Walter de Gruyter, Berlin, 2012).

Layman's description

Con questo progetto si intende proseguire lungo direzioni di ricerca già consolidate, puntando sui seguenti aspetti:i) continuare ad estendere e generalizzare teorie e metodologie note (vedere abstract), rafforzando i punti di contatto;ii) caratterizzare qualitativamente e quantitativamente le soluzioni di problemi integro-differenziali ricorrenti in svariate applicazioni pratiche, con particolare riferimento agli ambiti di interesse della teoria dei controlli e dell'ottimizzazione matematica in generale;iii) rafforzare le collaborazioni internazionale già in essere, cercando al contempo di instaurarne di nuove.Le attività previste consistono in:i) missioni in Italia e all'Estero per la collaborazione scientifica con ricercatori italiani e stranieri con interessi comuni;ii) partecipazione a convegni, scuole e workshop in Italia e all'Estero per la presentazione dei risultati scientifici raggiunti dalla ricerca;iii) invito di professori visitatori senior e junior con competenze scientifiche utili al progetto.

Key findings

Altro
StatusFinished
Effective start/end date3/12/153/11/16