Algebre con identità polinomiali

Nell'ambito del progetto di ricerca l'unità di Palermo darà il proprio contributo come di seguito riportato. Il comportamento asintotico della successione delle codimensioni c_n(A) di un’algebra A, è un importante invariante delle identità soddisfatte da A e si è recentemente dimostrato che la crescita esponenziale della varietà generata da A cioè il limite della successione c_n(A)^(1/n), esiste ed è un intero non negativo. Si cercherà di ottenere informazioni sui T-ideali dell’algebra libera dati per generatori, cercando di determinare l’esponente della varietà associata in alcuni casi notevoli come ad esempio nel caso dei polinomi di Amitsur. Un’ulteriore applicazione riguarda le varietà minimali. In quest’ambito si studieranno le varietà minimali a crescita polinomiale cercandone una classificazione. Nel caso di algebre non necessariamente associative, la teoria delle identità polinomiali e’ molto più ricca e complessa. Esistono ampie classi di algebre (di Lie, di Leibniz, etc.) a crescita esponenziale. In quest’ambito si cercherà di studiare il comportamento asintotico di tali varietà sia nel caso che siano generate da un’algebra di dimensione finita sia che abbiano crescita esponenziale o intermedia. Un interessante raffinamento della teoria è ottenuto quando l'algebra ha un'ulteriore struttura di superalgebra o di algebra con involuzione *, studiando le corrispondenti superidentita o *-identità. Un importante esempio è l'algebra delle matrici nxn le cui Z_2 graduazioni ed involuzioni sono ben note. In quest’ambito studieremo le *-varietà e le supervarietà che siano minimali di crescita polinomiale. Nell'affrontare il problema della determinazione delle identità delle matrici esiste un ulteriore approccio fondato sulla combinatoria delle funzioni di Schur e la teoria delle identità traccia. Attraverso tale metodo si intende ottenere informazioni sulle molteplicità del cocarattere n-esimo. Nel caso in cui un’algebra abbia una struttura di algebra graduata o abbia un’involuzione, un ulteriore metodo per lo studio delle identità polinomiali è dato dal comparare i corrispondenti invarianti più fini a quelli classici. In quest'ambito è utile cercare di determinare le possibili gradazioni ed involuzioni su sottoalgebre significative di matrici quali ad esempio le algebre triangolari a blocchi. Una ulteriore problematica che si cercherà di sviluppare è il legame tra identità polinomiali ed identità gruppali in algebre gruppali.